Le nombre d’or

Nous commencerons par l'étude d'un nombre particulier qui influence la nature. Cette valeur irrationnelle est le nombre d'or, qui est noté avec la lettre grec Phi. Celui-ci a été remarqué il y a très longtemps, lors de la Préhistoire. Les hommes ont alors appris à diviser un cercle en cinq ou en dix, ce qui laissait apparaître des figures: le pentagone et le décagone. A partir de cet instant, ils avaient le nombre d'or sous les yeux. En effet le pentagone régulier est une figure d'or car la proportion entre la diagonale et un côté donne le nombre d'or. Cela peut se retrouver de deux manières différentes comme en formant deux triangles, qui sont les triangles d'or.

Par la suite, les Grecs, qui sont à l'origine de la science de la géométrie, ont commencé à évoquer un nombre particulier, celui-ci étant le nombre d'or, mais à cette époque celui-ci n'était pas encore désigné par ce nom . Le grec Euclide a écrit un traité sur ce nombre mystérieux. En effet celui-ci est à l'origine de la première définition de la section d'or , il a énoncé dans un de ses livres Les Eléments «Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,comme elle est toute entière relativement au plus grand segment,ainsi est le plus grand relativement au plus petit. » Euclide veut dire qu'un partage d en « extrême et moyenne raison » se produit lorsque x/y et y/(x-y) sont égaux , ca veut dire que le quotient du segment(x) sur le grand côté(y) est égal au grand côté sur le petit côté(x-y).

Démonstration ( calcul de phi) :

Durant la renaissance, plus précisément en 1509, Luca Pacioli publia Divina proportionne, illustrée par Léonard de Vinci, le premier traité consacré, pour une grande partie, au nombre d'or, c'est d'ailleurs ici que ce nombre reçu son appellation. Nous pouvons voir que cette peinture ci-dessous, montre Lucas Pacioli présentant le nombre d'or, par le biais d'un dodécaèdre régulier qui a de nombreuses propriétés liées au nombre d'or, donc volontairement l'auteur nous montre ce nombre mystérieux.

Nous pouvons retrouver le segment dans une autre figure particulière qui est le rectangle d'or , les proportions de ce rectangle,c'est à dire le quotient de la longueur sur la largeur, sont égales au nombre d'or. Nous pouvons voir que lorsque nous retirons le carré créé par un des petits côtés , cela forme un nouveau rectangle dont les proportions sont les mêmes que celles du rectangle d'origine. Nous pouvons observer que le grand côté du grand rectangle est partagé par le carrée de la même manière que le segment que nous avons pu voir précédemment.

Nous pouvons voir également que si l'on répète cette dernière action dans le nouveau rectangle et que nous faisons cela pour tous les nouveaux rectangles, en conservant le même sens de construction, nous obtenons une nouvelle figure assez étrange, dans celle-ci nous pouvons construire une spirale dans le sens de construction de la figure , en partant d'un angle de chaque carré, nous construisons un arc de cercle qui rejoint l'angle opposé, en faisant cela dans chaque carré nous obtenons une spirale, c'est la spirale d'or, celle-ci est rencontrée à plusieurs reprises dans la nature, par exemple dans certaines plantes ou dans les carapaces de certains animaux. Si a0 et a1 sont les côtés du rectangle du centre, les côtés du deuxième rectangle seront a1 et a2 = a1 + a0; de proche en proche on obtient an+1 = an + an-1. En particulier si a0 = a1 = 1 on reconnaît la célèbre suite de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55...

 

La suite de Fibonacci est en fait une série de nombres qui se suivent grâce à une suite logique, un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les deux nombres précédents exceptés le premiers terme de la suite qui est 1. Nous nous sommes rendus comptes qu'en faisant le quotient de deux termes successifs de la suite nous obtenons toujours des différentes valeurs mais qui sont toutes de plus en plus proches du nombre d'or.

Il faut faire attention, car certains prétendent que le nombre d'or est dans les peintures, ou dans des constructions, cela vient du fait qu'après la découverte du nombre d'or, certaines oeuvres présentant des propriétés esthétiques sont associées au nombre d'or, par exemple pour les peintures, c'est le format utilisé qui rend cette impression de la divine proportion, car celui-ci est de 8/5, qui vaut 1,6 donc un nombre très proche du nombre d'or mais celui-ci n'est pas utilisé intentionnellement, c'est uniquement le format qui s'y prête.